ГОСТ Р 50779.21-2004 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

-

математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее - среднее значение);

-

известное значение параметра ;

, -

математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

-

точечная оценка параметра ; ;

, -

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

-

точечная оценка разности значений параметров и ;

-

стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной величины;

-

дисперсия генеральной совокупности; ;

-

известное значение дисперсии генеральной совокупности, ;

-

известное численное значение параметра ;

, -

известные значения параметров и для двух генеральных совокупностей;

-

точечная оценка параметра , ;

, -

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

-

точечная оценка дисперсии;

-

выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

-

выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

-

то же, из второй генеральной совокупности;

, , -

объемы выборок;

, , -

среднеарифметические значения (выборочные средние);

-

выборочное стандартное (среднеквадратичное) отклонение;

, -

то же для двух выборок соответственно;

-

риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);

-

уровень значимости при проверке гипотез, а также доверительная вероятность ;

-

число степеней свободы;

, -

квантили стандартного нормального закона распределения уровней и соответственно;

, -

квантили распределения Стьюдента с степенями свободы уровней и соответственно;

-

квантиль распределения Фишера с и степенями свободы уровня ;

, , -

квантили распределения с степенями свободы уровней , и соответственно;

, -

нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

-

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданный интервал ;

-

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала , причем ;

, -

точечные оценки и ;

, -

нижние односторонние доверительные границы для и ;

, -

верхние односторонние доверительные границы для и ;

-

случайное событие: например, попадание случайной величины в заданный интервал;

-

вероятность случайного события ;

-

сумма выборочных значений.

Задача оценки среднего значения

Номер таблицы

известна

неизвестна

Оценка среднего

6.1

6.2

Сравнение среднего значения с заданным значением

6.3

6.4

Сравнение двух средних

6.5

6.6

Оценка разности двух средних

6.7

6.8

Задача оценки дисперсии

Номер таблицы

Оценка дисперсии

7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений

7.3

Номер таблицы

известна

неизвестна

8.2

8.3

Заданные границы интервала

Искомая величина

Номер таблицы

,

8.4

,

8.5

,

,

8.6

,

8.7

,

8.8

,

,

8.9

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Известное значение дисперсии:

3 Вычисляем:

4 Выбранная доверительная вероятность:

4 Вычисляем:

5 Вычисляем:

Результаты

1 Точечная оценка параметра :

2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для :

.

3 Односторонние доверительные интервалы для :

или

.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:

4 Степени свободы:

4 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

5 Вычисляем:

6 Вычисляем:

7 Вычисляем:

Результаты

1 Точечная оценка параметра :

2 Точечная оценка параметра :

3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра :

.

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра :

(1)

или

. (2)

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Заданное значение:

3 Вычисляем:

4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:

или стандартного отклонения:

5 Выбранный уровень значимости:

Результаты

Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:

4 Заданное значение:

4 Вычисляем:

5 Степени свободы:

5 Вычисляем:

6 Выбранный уровень значимости:

Результаты

Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:

4 Выбранный уровень значимости:

3 Вычисляем:

;

4 Вычисляем:

Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Вторая выборка

Первая выборка

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

4 Степени свободы:

3 Вычисляем:

5 Выбранный уровень значимости:

;

4 Вычисляем:

5 Вычисляем:

Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 В двустороннем случае:

а) предположение о том, что средние и совпадают (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Известное значения дисперсий генеральной совокупности:

4 Выбранный уровень значимости:

3 Вычисляем:

тогда доверительная вероятность равна

;

4 Вычисляем:

Результаты

1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей:

.

2 Односторонний доверительный интервал для разности :

или

.

3 Двусторонний доверительный интервал для разности :

.

4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Вторая выборка

Первая выборка

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

4 Степени свободы:

3 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

;

4 Вычисляем:

5 Вычисляем:

Результаты

1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей:

.

2 Двусторонний доверительный интервал для разности :

.

3 Односторонний доверительный интервал для разности :

или

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантили распределения с степенями свободы уровней , , и соответственно:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:

4 Степени свободы:

4 Вычисляем;

5 Выбранная доверительная вероятность:

Результаты

1 Точечные оценки дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности:

.

2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии :

.

3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии :

или (3)

. (4)

_______________

* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии .

Примечание - Квантили распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантили распределения с степенями свободы уровней , , и соответственно:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых

величин:

2 Вычисляем:

4 Заданное значение:

3 Вычисляем:

5 Степени свободы:

6 Выбранная доверительная вероятность:

Результаты

Сравнение дисперсии с заданным значением или сравнение стандартного отклонения с заданным значением :

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

или .

2 Односторонний случай:

а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Вычисляем:

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 Вычисляем:

4 Степени свободы:

;

5 Выбранный уровень значимости:

3 Квантили распределения Фишера:

Результаты

Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

или .

2 Односторонний случай:

а) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1-Г.9 приложения Г.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Среднее значение (математическое ожидание):

1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:

2 Стандартное отклонение:

2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:

или дисперсия:

3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы :

3 Границы интервала:

нижняя

Если значение не задано, то

верхняя

4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы :

Если значение не задано, то

Результаты

1 Доля распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Доля распределения случайной величины в интервале :

.

Примечание - Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Стандартное отклонение:

2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя

или дисперсия

верхняя

3 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы (см. таблицу 8.1):

4 Границы интервала:

Если значение не задано, то

нижняя

4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы (см. таблицу 8.1):

верхняя

Если значение не задано, то

Результаты

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале :

.

Примечания - Величины и представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Вычисляем:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Точечная оценка стандартного отклонения:

4 Границы интервала:

4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя

нижняя

верхняя

верхняя

5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы (см. таблицу 8.1):

Если значение не задано, то

6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы (см. таблицу 8.1):

Если значение не задано, то

Результаты

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале :

.

Примечание - Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для ;

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (1) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Границы интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

; .

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).

2.2 Наихудшая точка :

, если ;

, если .

2.3 Интервальная оценка параметра , соответствующая доверительной вероятности :

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

- для и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

- для , причем

,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:

;

4 Степени свободы:

;

;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Границы интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

;

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).

2.2 Наихудшая точка :

, если ; (2.2.1)

, если ; (2.2.2)

, если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются.

2.3 Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины при полученных значениях параметров и - (см. таблицу 8.1):

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:

, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

0,00

0,50000

0,69146

0,84134

0,93319

0,97725

0,99379

0,99865

0,01

0,50399

0,69497

0,84375

0,93448

0,97778

0,99396

0,99869

0,02

0,50798

0,69847

0,84614

0,93574

0,97831

0,99413

0,99874

0,03

0,51197

0,70194

0,84850

0,93699

0,97882

0,99430

0,99878

0,04

0,51595

0,70540

0,85083

0,93822

0,97932

0,99446

0,99882

0,05

0,51994

0,70884

0,85314

0,93943

0,97982

0,99461

0,99886

0,06

0,52392

0,71226

0,85543

0,94062

0,98030

0,99477

0,99889

0,07

0,52790

0,71566

0,85769

0,94179

0,98077

0,99492

0,99893

0,08

0,53188

0,71904

0,85993

0,94295

0,98124

0,99506

0,99896

0,09

0,53586

0,72240

0,86214

0,94408

0,98169

0,99520

0,99900

0,10

0,53983

0,72575

0,86433

0,94520

0,98214

0,99534

0,99903

0,11

0,54380

0,72907

0,86650

0,94630

0,98257

0,99547

0,99906

0,12

0,54776

0,73237

0,86864

0,94738

0,98300

0,99560

0,99910

0,13

0,55172

0,73565

0,87076

0,94845

0,98341

0,99573

0,99913

0,14

0,55567

0,73891

0,87286

0,94950

0,98382

0,99585

0,99916

0,15

0,55962

0,74215

0,87493

0,95053

0,98422

0,99598

0,99918

0,16

0,56356

0,74537

0,87698

0,95154

0,98461

0,99609

0,99921

0,17

0,56750

0,74857

0,87900

0,95254

0,98500

0,99621

0,99924

0,18

0,57142

0,75175

0,88100

0,95352

0,98537

0,99632

0,99926

0,19

0,57535

0,75490

0,88298

0,95449

0,98574

0,99643

0,99929

0,20

0,57926

0,75804

0,88493

0,95543

0,98610

0,99653

0,99931

0,21

0,58317

0,76115

0,88686

0,95637

0,98645

0,99664

0,99934

0,22

0,58706

0,76424

0,88877

0,95728

0,98679

0,99674

0,99936

0,23

0,59095

0,76731

0,89065

0,95818

0,98713

0,99683

0,99938

0,24

0,59483

0,77035

0,89251

0,95907

0,98745

0,99693

0,99940

0,25

0,59871

0,77337

0,89435

0,95994

0,98778

0,99702

0,99942

0,26

0,60257

0,77637

0,89617

0,96080

0,98809

0,99711

0,99944

0,27

0,60642

0,77935

0,89796

0,96164

0,98840

0,99720

0,99946

0,28

0,61026

0,78230

0,89973

0,96246

0,98870

0,99728

0,99948

0,29

0,61409

0,78524

0,90147

0,96327

0,98899

0,99736

0,99950

0,30

0,61791

0,78814

0,90320

0,96407

0,98928

0,99744

0,99952

0,31

0,62172

0,79103

0,90490

0,96485

0,98956

0,99752

0,99953

0,32

0,62552

0,79389

0,90658

0,96562

0,98983

0,99760

0,99955

0,33

0,62930

0,79673

0,90824

0,96638

0,99010

0,99767

0,99957

0,34

0,63307

0,79955

0,90988

0,96712

0,99036

0,99774

0,99958

0,35

0,63683

0,80234

0,91149

0,96784

0,99061

0,99781

0,99960

0,36

0,64058

0,80511

0,91308

0,96856

0,99086

0,99788

0,99961

0,37

0,64431

0,80785

0,91466

0,96926

0,99111

0,99795

0,99962

0,38

0,64803

0,81057

0,91621

0,96995

0,99134

0,99801

0,99964

0,39

0,65173

0,81327

0,91774

0,97062

0,99158

0,99807

0,99965

0,40

0,65542

0,81594

0,91924

0,97128

0,99180

0,99813

0,99966

0,41

0,65910

0,81859

0,92073

0,97193

0,99202

0,99819

0,99968

0,42

0,66276

0,82121

0,92220

0,97257

0,99224

0,99825

0,99969

0,43

0,66640

0,82381

0,92364

0,97320

0,99245

0,99831

0,99970

0,44

0,67003

0,82639

0,92507

0,97381

0,99266

0,99836

0,99971

0,45

0,67364

0,82894

0,92647

0,97441

0,99286

0,99841

0,99972

0,46

0,67724

0,83147

0,92785

0,97500

0,99305

0,99846

0,99973

0,47

0,68082

0,83398

0,92922

0,97558

0,99324

0,99851

0,99974

0,48

0,68439

0,83646

0,93056

0,97615

0,99343

0,99856

0,99975

0,49

0,68793

0,83891

0,93189

0,97670

0,99361

0,99861

0,99976

Примечание - - значение аргумента от 0,00 до 0,49. Значение аргумента от 0,50 и выше находят как сумму и значений 0,5; 1,0; 1,5 и т.д. (см. обозначения граф таблицы).

Значения квантилей распределения Стьюдента с степенями свободы для уровня

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,9995

1

0,158

0,325

0,510

0,727

1,000

1,376

1,963

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

636,619

2

0,142

0,289

0,445

0,617

0,816

1,061

1,386

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

31,598

3

0,137

0,277

0,424

0,584

0,765

0,978

1,250

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

12,924

4

0,134

0,271

0,414

0,569

0,741

0,941

1,190

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

8,610

5

0,132

0,267

0,408

0,559

0,727

0,920

1,156

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

6,869

6

0,131

0,265

0,404

0,543

0,718

0,906

1,134

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,959

7

0,130

0,263

0,402

0,549

0,711

0,896

1,119

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

5,408

8

0,130

0,262

0,399

0,546

0,706

0,889

1,108

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

5,041

9

0,129

0,261

0,398

0,543

0,703

0,883

1,100

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,781

10

0,129

0,260

0,397

0,542

0,700

0,879

1,093

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,587

11

0,129

0,260

0,396

0,540

0,697

0,876

1,088

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

4,437

12

0,128

0,259

0,395

0,539

0,695

0,873

1,083

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

4,318

13

0,128

0,259

0,394

0,538

0,694

0,870

1,079

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

4,221

14

0,128

0,258

0,393

0,537

0,692

0,868

1,076

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

4,140

15

0,128

0,258

0,393

0,536

0,691

0,866

1,074

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

4,173

16

0,128

0,258

0,392

0,535

0,690

0,865

1,071

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

4,015

17

0,128

0,257

0,392

0,534

0,689

0,863

1,069

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,965

18

0,128

0,257

0,392

0,534

0,688

0,862

1,067

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,922

19

0,127

0,257

0,391

0,533

0,688

0,861

1,066

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,883

20

0,127

0,257

0,391

0,533

0,687

0,860

1,064

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,850

21

0,127

0,257

0,391

0,532

0,686

0,859

1,063

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,819

22

0,127

0,256

0,390

0,532

0,686

0,858

1,061

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,792

23

0,127

0,256

0,390

0,532

0,685

0,858

1,060

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,767

24

0,127

0,256

0,390

0,531

0,685

0,857

1,059

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,745

25

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,725

26

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,707

27

0,127

0,256

0,389

0,531

0,684

0,855

1,057

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,690

28

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,855

1,056

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,674

29

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,659

30

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,646

40

0,126

0,255

0,388

0,529

0,681

0,851

0,050

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,551

60

0,126

0,254

0,387

0,527

0,679

0,848

0,046

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,460

120

0,126

0,254

0,386

0,526

0,677

0,845

0,041

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

3,373

0,126

0,253

0,385

0,524

0,674

0,842

0,036

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,291

Значения квантилей распределения с степенями свободы для уровня

0,01

0,02

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,0157

0,0628

0,0393

0,0158

0,0642

0,148

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,412

6,635

2

0,0201

0,0404

0,103

0,211

0,446

0,713

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,824

9,210

3

0,115

0,185

0,352

0,584

1,005

1,424

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,837

11,345

4

0,297

0,429

0,711

1,064

1,649

2,195

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488

11,668

13,277

5

0,554

0,752

1,145

1,160

2,343

3,000

4,351

6,064

7,289

9,233

11,070

13,388

15,086

6

0,872

1,134

1,635

2,204

3,070

3,828

5,348

7,231

8,558

10,645

12,592

15,033

16,812

7

1,239

1,564

2,167

2,833

3,822

4,671

6,346

8,383

9,803

12,017

14,067

16,622

18,475

8

1,646

2,032

2,733

3,490

4,594

5,527

7,344

9,524

11,030

13,362

15,507

18,168

20,090

9

2,088

2,532

3,325

4,168

5,380

6,393

8,343

10,656

12,242

14,684

16,919

19,679

21,666

10

2,358

3,059

3,940

4,865

6,179

7,267

9,342

11,781

13,442

15,987

18,307

21,161

23,209

11

3,053

3,609

4,575

5,578

6,989

8,148

10,341

12,899

14,631

17,275

19,675

22,618

24,725

12

3,571

4,178

5,226

6,304

7,807

9,034

11,340

14,011

15,821

18,549

21,026

24,054

26,217

13

4,107

4,765

5,892

7,042

8,634

9,926

12,340

15,119

16,985

19,812

22,362

25,472

27,688

14

5,660

5,368

6,571

7,790

9,467

10,821

13,339

16,222

18,151

21,064

23,996

26,873

29,141

15

5,229

5,985

7,261

8,547

10,307

11,721

14,339

17,322

19,311

22,307

24,996

28,259

30,578

16

5,812

6,614

7,962

9,312

11,152

12,624

15,333

18,418

20,465

23,542

26,296

29,633

32,000

17

6,408

7,255

8,672

10,035

12,002

13,531

16,338

19,511

21,615

24,769

27,587

30,995

33,409

18

7,015

7,906

9,390

10,865

12,857

14,440

17,338

20,601

22,760

25,989

28,869

32,346

34,805

19

7,633

8,567

10,117

11,651

13,716

15,352

18,338

21,689

23,900

27,204

30,144

33,687

36,191

20

8,260

9,237

10,851

12,443

14,578

16,266

19,337

22,775

25,038

28,412

31,410

35,020

37,566

21

8,897

9,915

11,591

13,240

15,445

17,182

20,337

23,858

26,171

29,615

32,671

36,343

38,932

22

9,542

10,600

12,338

14,041

16,314

18,101

21,337

24,939

27,301

30,813

33,924

37,659

40,289

23

10,196

11,293

13,091

14,848

17,187

19,021

22,337

26,018

28,429

32,007

35,172

38,968

41,638

24

10,856

11,992

13,848

15,659

18,062

19,943

23,337

27,096

29,553

33,196

36,415

40,270

42,980

25

11,524

12,697

14,611

16,473

18,940

20,867

24,337

28,172

30,675

34,382

37,652

41,566

44,314

26

12,198

13,409

15,379

17,292

19,820

21,792

25,336

29,246

31,795

35,563

38,885

42,856

45,642

27

12,879

14,125

16,151

18,114

20,703

22,719

26,336

30,319

32,912

36,741

40,113

44,140

46,963

28

13,565

14,847

16,928

18,939

21,588

23,647

27,336

31,391

34,027

37,916

41,337

45,419

48,278

29

14,256

15,574

17,708

19,768

22,475

24,577

28,336

32,461

35,139

39,087

42,557

46,693

49,588

30

14,953

16,306

18,493

20,599

23,364

25,508

29,336

33,530

36,250

40,256

43,773

47,962

50,892

Значения квантилей -распределения уровня =0,5 для степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

1

1,0000

1,5000

1,7092

1,8227

1,8937

1,9422

1,9774

2,0041

2,0250

2,0419

2,0674

2,0931

2,1190

2,1321

2,1452

2,1584

2,1716

2,1848

2,1981

2

0,66667

1,0000

1,1349

1,2071

1,2519

1,2824

1,3045

1,3213

1,3344

1,3450

1,3610

1,3771

1,3933

1,4014

1,4096

1,4178

1,4261

1,4344

1,4427

3

0,58506

0,88110

1,0000

1,0632

1,1024

1,1289

1,1482

1,1627

1,1741

1,1833

1,1972

1,2111

1,2252

1,2322

1,2393

1,2464

1,2536

1,2608

1,2680

4

0,54863

0,82843

0,94054

1,0000

1,0367

1,0617

1,0797

1,0933

1,1040

1,1126

1,1255

1,1386

1,1517

1,1583

1,1649

1,1716

1,1782

1,1848

1,1916

5

0,52807

0,79877

0,90715

0,96456

1,0000

1,0240

1,0414

1,0545

1,0648

1,0730

1,0855

1,0980

1,1106

1,1170

1,1234

1,1297

1,1361

1,1426

1,1490

6

0,51489

0,77976

0,88578

0,94191

0,97654

1,0000

1,0169

1,0298

1,0398

1,0478

1,0600

1,0722

1,0845

1,0907

1,0969

1,1031

1,1093

1,1156

1,1219

7

0,50572

0,76655

0,87095

0,92619

0,96026

0,98334

1,0000

1,0126

1,0224

1,0304

1,0423

1,0543

1,0664

1,0724

1,0785

1,0846

1,0908

1,0969

1,1031

8

0,49898

0,75683

0,86004

0,91464

0,93831

0,97111

0,98757

1,0000

1,0097

1,0175

1,0293

1,0412

1,0531

1,0591

1,0651

1,0711

1,0771

1,0832

1,0893

9

0,49382

0,74938

0,85168

0,90580

0,93916

0,96175

0,97805

0,99037

1,0000

1,0077

1,0194

1,0311

1,0429

1,0489

1,0548

1,0608

1,0667

1,0727

1,0788

10

0,48973

0,74349

0,84508

0,89882

0,93193

0,95436

0,97054

0,98276

0,99232

1,0000

1,0116

1,0232

1,0349

1,0408

1,0467

1,0526

1,0585

1,0645

1,0705

11

0,48644

0,73872

0,83973

0,89316

0,92608

0,94837

0,96445

0,97661

0,98610

0,99373

1,0052

1,0168

1,0284

1,0343

1,0401

1,0460

1,0519

1,0578

1,0637

12

0,48369

0,73477

0,83530

0,88848

0,92124

0,94342

0,95943

0,97152

0,98097

0,98856

1,0000

1,0115

1,0231

1,0289

1,0347

1,0405

1,0464

1,0523

1,0582

13

0,48141

0,73145

0,83159

0,88454

0,91718

0,93926

0,95520

0,96724

0,97665

0,98421

0,99560

1,0071

1,0186

1,0243

1,0301

1,0360

1,0418

1,0476

1,0535

14

0,47944

0,72862

0,82842

0,88119

0,91371

0,93573

0,95161

0,96360

0,97298

0,98051

0,99186

1,0033

1,0147

1,0205

1,0263

1,0321

1,0379

1,0437

1,0495

15

0,47775

0,72619

0,82569

0,87830

0,91073

0,93627

0,94850

0,96046

0,96981

0,97732

0,98863

1,0000

1,0114

1,0172

1,0229

1,0287

1,0345

1,0403

1,0461

16

0,47628

0,72406

0,82330

0,87578

0,90812

0,93001

0,94580

0,95773

0,96705

0,97454

0,98582

0,99716

1,0086

1,0143

1,0200

1,0258

1,0315

1,0373

1,0431

17

0,47499

0,72219

0,82121

0,87357

0,90584

0,92767

0,94342

0,95532

0,96462

0,97203

0,98334

0,99466

1,0060

1,0117

1,0174

1,0232

1,0289

1,0347

1,0405

18

0,47385

0,72053

0,81936

0,87161

0,90381

0,92560

0,94132

0,95319

0,96247

0,96993

0,98116

0,99245

1,0038

1,0095

1,0152

1,0209

1,0267

1,0324

1,0382

19

0,47284

0,71906

0,81771

0,86987

0,90200

0,92375

0,93944

0,95129

0,96056

0,96800

0,97920

0,99047

1,0018

1,0075

1,0132

1,0189

1,0246

1,0304

1,0361

20

0,47192

0,71773

0,81621

0,86830

0,90038

0,92210

0,93776

0,94959

0,95884

0,96626

0,97746

0,98870

1,0000

1,0057

1,0114

1,0171

1,0228

1,0285

1,0343

21

0,47108

0,71653

0,81487

0,86688

0,89891

0,92060

0,93624

0,94805

0,95728

0,96470

0,97587

0,98710

0,99838

1,0040

1,0097

1,0154

1,0211

1,0268

1,0326

22

0,47033

0,71545

0,81365

0,86559

0,89759

0,91924

0,93486

0,94665

0,95588

0,96328

0,97444

0,98565

0,99692

1,0026

1,0082

1,0139

1,0196

1,0253

1,0311

23

0,46965

0,71446

0,81255

0,86442

0,89638

0,91800

0,93360

0,94538

0,95459

0,96199

0,97313

0,98433

0,99558

1,0012

1,0069

1,0126

1,0183

1,0240

1,0297

24

0,46902

0,71356

0,81153

0,86335

0,89527

0,91687

0,93245

0,94422

0,95342

0,96081

0,97194

0,98312

0,99436

1,0000

1,0057

1,0113

1,0170

1,0227

1,0284

25

0,46844

0,71272

0,81061

0,86236

0,89425

0,91583

0,93140

0,94315

0,95234

0,95972

0,97084

0,98201

0,99324

0,99887

1,0045

1,0102

1,0159

1,0215

1,0273

26

0,46793

0,71195

0,80975

0,86145

0,89331

0,91487

0,93042

0,94217

0,95135

0,95872

0,96983

0,98099

0,99220

0,99783

1,0035

1,0091

1,0148

1,0205

1,0262

27

0,46744

0,71124

0,80894

0,86061

0,89244

0,91399

0,92952

0,94126

0,95044

0,95779

0,96889

0,98004

0,99125

0,99687

1,0025

1,0082

1,0138

1,0195

1,0252

28

0,46697

0,71059

0,80820

0,85983

0,89164

0,91317

0,92869

0,94041

0,94958

0,95694

0,96802

0,97917

0,99036

0,99598

1,0016

1,0073

1,0129

1,0186

1,0243

29

0,46654

0,70999

0,80753

0,85911

0,89089

0,91241

0,92791

0,93963

0,94879

0,95614

0,96722

0,97835

0,98954

0,99515

1,0008

1,0064

1,0121

1,0177

1,0234

30

0,46616

0,70941

0,80689

0,85844

0,89019

0,91169

0,92719

0,93889

0,94805

0,95540

0,96647

0,97759

0,98877

0,99438

1,0000

1,0056

1,0113

1,0170

1,0226

40

0,46330

0,70531

0,80228

0,85357

0,88516

0,90654